高考数学知识点：集合四种命题方向解读

在高考中有关集合内容共有5个考点：①集合;②子集;③补集;④交集;⑤并集.

考试要求：①理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;②了解空集和全集的意义;③了解属于、包含、相等关系的意义;④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

重点：①集合的表示及专用符号.用描述法表示集合{x|x∈P}，要正确理解竖线前代表元素及其具有的性质P;②集合之间的运算：能够熟练地求两个或几个集合的交集、并集合，并掌握利用数轴、文氏图解决集合的方法.

一、基本型

题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考考查集合的主要方式，几乎每年必考.

破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等.

例1若集合M={ y| y=2x}，P={ y| y= }，则M∩P=

(A) { y| y1}　 (B) { y| y≥1}

(C) { y| y0}(D) { y| y≥0}

分析：本题的错误率极高，主要是缺乏语言互化能力.其实是求“两个函数值域的交集”.

解：本题集合M与P中的代表元素是y，则M∩P即是求函数y=2x 与y= 的值域的公共部分，显然M={ y| y0}，P={ y| y≥0}，故选(C).

例2设全集是实数集R， ， ，则 M∩N等于

A.　B.

C.D.

分析：本题分步计算即得，先算补集，再求交集.

解：先计算补集 M={x|x-2或x2}，再继续求交集，即 M∩N={x|x-2}，故选(A).

例3 设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是

(A) ( A)∪B=I　(B) ( A)∪( B)=I

(C) A∩( B)=　(D) ( A)∩( B)= B

点通1　运用韦恩图

画出韦恩图(如右图)，从图中易验证，选项(B)错误.故选(B).

点通2　运用特殊集合

设A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，则 A={2，3}， B={3}易验证(B)错误.故选(B).

例4(2005年北京高考题)设全集U=R，集合M={x| x1}，P={x| x21}，则下列关系中正确的是

(A)M=P　(B) P M　(C) M P　(D)

解：P={x|x1或x-1}，M={x|x1}，易知M P，而选(C).

点评：判断集合之间关系问题，应先简化集合，再判断.有时还可结合图象加以观察.

二 、交汇型

题型特点：主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题.

破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识.

例5⑴(2005年山东高考题) 设集合A、B是全集 的两个子集，则A B是 的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

⑵(2005年上海高考题)已知集合 ， ，则 等于

A.B.

C.　 D.

分析：第⑴小题是集合与简易逻辑进行交汇，用推出法即可解决.第⑵小题是集合与不等式的交汇.

解：⑴由 ，即A=B或A B，设p：A B;q： ，则有p q，但q p.故选(A).

⑵集合M = { x |-1≤x≤3，x}，P = { x |-1

点评：对于⑵是集合与绝对值不等式及分式不等式的交汇，对分式不等式到整式不等式的转化.在这里，要注意分母不为零的条件限制.

三、计数型

题型特点：是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等.

破解技巧：常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等 .

例6⑴(2003年安徽春季高考题)集合S={a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有

(A) 2个　 (B) 3个(C) 5个 (D) 8个

⑵设集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={(x，y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，，则集合 中元素的个数为

(A) 1 (B) 2　 (C) 3(D) 4

⑶设集合 N}的真子集的个数是

(A) 16　(B) 8; (C) 7　 (D) 4

解： ⑴本题等价于求集合{c，d，e}的子集个数，即为23=8，选(D).

⑵本题只要将集合语言转换成图形语言即可.本题实质就是单位圆与抛物线y=x2的交点个数，画图知2个，故选(B).

⑶A={0，1，2}，故A的真子集个数是23-1=7，选(C).

四、逆向型

题型特点：已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题往往具有一定的开放性.

例7⑴(2000年上海春季高考题)设U是全集，非空集合P、Q 满足P Q U，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集 ，则这个运算表达式可以是_______(只要写出一个表达式).

⑵(2002年上海春季高考题)若全集U=R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P= ，则不等式组 的解集可用P、Q表示为　 .

解：⑴此题是开放性试题，如图，

极易得到其多种答案：

① UQ∩P;

②P∩( UP∩Q);

③ UQ∩(P∪Q);等等.

⑵由补集定义，得UQ=x│g(x)0，则不等式组的解集就是P与UQ的交集，即表示为P∩UQ.

五、阅读理解型

题型特点：以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情景，要求学生在理解的基础上作答.

例8设f(n)=2n+1(n∈N)，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记 ={n∈N|f(n)∈P}， ={n∈N|f(n)∈Q}，则( ∩ )∪( ∩ )=

(A) {0，3}　 (B){1，2}(C) (3，4，5}　(D){1，2，6，7}

解：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q中元素的个数是

A.9B.8C.7D.6

2. 是正实数，设 是奇函数}，若对每个实数 ， 的元素不超过2个，且有 使 含2个元素，则 的取值范围是　 .

[答案：1.(B)　2. ]

三、命题趋向

集合内容将以集合运算为重点进行考查，在2006年高考中将仍以选择题或填空题的形式出现，其难度在0.7左右，同时要注意集合思想的应用及集合与其它知识的交汇，展示以集合语言为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙、新颖、解法灵活特点，将会是未来高考“出活题、考能力”的命题趋向.

四、备考建议

一、注重基础，注意辨析

对于集合的复习，首先要注重基础，熟练掌握集合间的关系(子集与真子集)的判定方法，集合间的运算;同时，还要对集合的有关概念和符号进行辨析，只有准确把握它们，才不会在高考中掉进命题者设计的陷阱之中.

首先，要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素所组成，这就需要对集合的文字语言，符号语言，图形语言进行相互转化.

其次，由于集合知识概念新，符号多，往往顾此失彼，因此需要注意如下几个方面的问题：一是注意集合元素的三性(确定性，互异性，无序性);二要注意0，{0}，，{}的关系，数字0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}则是以为元素的集合;三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解题过程中极易被忽视;四要注意符号“∈”与“”(或)的区别，符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，“” (或)表示集合与集合之间的包含关系.

二、不可忽视集合的交汇性及创新性问题对集合的重点复习是集合间的关系判定以及集合间的运算问题.其中关系判定以及集合间的运算问题，常常是集合内容与不等式等内容进行交汇，故应熟练掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含参不等式，指对数不等式等的解法.但也有可能考查较为灵活的非常规的开放题，探究题，信息迁移题等创新题.其实也是近年高考在集合方面的一个新命题背景，特别是定义新运算.如已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a b，a∈A，b∈A}，则A※A=_________.此类关键是理解新运算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}.

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