求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。

一. 配方法

例1. 设a、b为实数，那么的最小值是___________。

解：

因为，

所以当且

即且时，式子的值最小，最小值为－1。

二. 计算法

例2. 已知：，，，则的最小值为（ ）

A. B.

C. D.

解：由

解得

因为

所以只要最小，就最小，通过计算当，；或时最小，最小值为

所以的最小值为

故选B

注：也可把a、b、c的值直接代入通过计算并比较，从而求出其最小值。

三. 消元法

例3. 已知：，则的最大值是___________，最小值是_________。

解：由得

所以

所以

所以

所以当时，的最大值为；当时，的最小值为－2。

四. 构造法

例4. 求的最大值。

解：原式可变形为

其中可以看成是以，为直角边的直角三角形的斜边长，可以看成是以，为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。

图1

当C点与D点不重合时，即时，在中有

即

当C点与D点重合时，即时

所以当时即时y取最大值。

五. 坐标法

例5. 已知：，求：的最小值。

解：如图2，建立直角坐标系，的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。

图2

设P（x，y）是直线上的一动点，由勾股定理知表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当时，最小。

作，垂足为C。

因为

所以

所以的最小值为。

六. 换元法

例6. 求的最大值。

解：因为，所以

则可设

所以

所以当，即时，有最大值1。

七. 利用基本不等式法

例7. 若，那么代数式的最小值是_____________。

解：当时

因为

所以

即

因为

所以

所以的最小值为1。

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